Persamaan Lingkaran

Baca Juga

Dalam matematika, lingkaran didefenisikan sebagai himpunan semua titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan dengan pusat lingkaran, sedangkan jarak tersebut dinamakan dengan jari-jari lingkaran.

Lingkaran bukan lagi istilah asing bagi anak-anak sekolah karena pada setiap jenjang pasti menemukan materi terkait lingkaran. Dalam tulisan ini, akan dibahas mengenai lingkaran secara analitik yang lebih dikhususkan bagi anak-anak SMA.

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di Titik O(0,0)
Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas menunjukkan sebuah lingkaran dengan titik pusat $O(0,0)$ berjari-jari $r$ dan titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran, serta $Q$ adalah proyeksi titik $P$ pada sumbu $X$. Akibatnya $\triangle OPQ$ adalah segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik $Q$. Dengan memanfaatkan teorema pythagoras kita peroleh:

$\begin{align*} OQ^{2}+PQ^{2}&=r^{2}\\ (x-0)^{2}+(y-0)^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=r^{2} \end{align*}$

Dengan demikian, dapat disimpulkan:

Persamaan lingkaran dengan titik pusat $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah:
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Titik $P$ merupakan sembarang titik yang terletak pada lingkaran,maka persamaan berlaku untuk semu titik.

Sekarang, kita perhatikan contoh soal berikut.

Soal 1
Tentukkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan berjari-jari $5$ satuan.
Jawab

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=5^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=25\\ \end{align*}$

Jadi, persamaan lingkaran dengan titik pusat $O(0,0)$ dengan jari-jari $5$ satuan adalah $x^{2}+y^{2}=25$

Soal 2
Tentukkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan berjari-jari $\sqrt{3}$ satuan.
Jawab

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=(\sqrt{3})^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=3\\ \end{align*}$

Jadi, persamaan lingkaran dengan titik pusat $O(0,0)$ dengan jari-jari $\sqrt{3}$ satuan adalah $x^{2}+y^{2}=3$

mmmm

Soal 3
Tentukan jari-jari dan diameter lingkaran $4x^{2}+4y^{2}=1$.
Jawab

$\begin{align*} 4x^{2}+4y^{2}&=1\\ x^{2}+y^{2}&=\frac{1}{4}\\ r^{2}&=\frac{1}{4}\\ r^{2}&=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\\ r&=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \textrm{Jadi}:\;r&=\frac{1}{2}\;\textrm{satuan}\\ D&=1\;\textrm{satuan} \end{align*}$

2. Persamaan Lingkaran dengan Titik Pusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$.

 Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas menunjukkan sebuah lingkaran dengan titik pusat $A(a,b)$, dan titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran. Titik $Q$ merupakan proyeksi titik $P$ pada garis $y=b$, akibatnya terbentuk segitiga siku-siku $AQP$ dengan siku-siku di $Q$. Perhatikan $\triangle AQP$, dimana $AQ=(x-a)$, $PQ=(y-b)$, dan $AP=r$, sehingga dengan memanfaatkan teorema pythagoras pada segitiga tersebut diperoleh:

$\begin{align*} AQ^{2}+PQ^{2}&=AP^{2}\\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2} \end{align*}$ 

Oleh karena $P$ sembarang titik pada lingkaran maka persamaan tersebut berlaku untuk setiap titik yang terletak pada lingkaran. Dari uraian tersebut, dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut.

Persamaan lingkaran dengan titik pusat $A(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Perhatikan contoh soal berikut.

Soal 1
Tentukkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(2,3)$ dan berjari-jari $5$ satuan.
Jawab

Misalkan titik pusat $A(2,3)$ dan $r=5$

$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-2)^{2}+(y-3)^{2}&=5^{2}\\ (x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)&=25\\x^{2}+y^{2}-4x-6y-16&=0\end{align*}$

Jadi, persamaan lingkaran dengan titik pusat $(2,3)$ dengan jari-jari $5$ satuan adalah $x^{2}+y^{2}-4x-6y-16=0$

Demikianlah uraian materi pada kesempatan kali ini. Apabila dalam uraian materi ini ditemukan kesalahan dalam pembahasannya,segera dikomentari di kolom komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat.

Salam Matematika....